和Ibond(通脹掛鈎債券)有關的一些數學

 

報載，新一批的Ibond認購反應熱烈，工銀亞洲並且聲稱，接獲最高認購金額為500萬元。用這個金額認購看來是完全沒有道理的。

也許因為Ibond已經有幾年沒有發行，可能有些新申請者並不清楚發行機制，不知道它是按循環分配機制去分發。即是，逐一申請人先分派一手，餘下的再給逐一申請人分派，直至不足以分派給每個人的話，就會抽籤分派。

這令我想起去年秋天我和中學同學在上海聚會時，一位同學因為小兒子的數學題目向我詢問，其實也是屬於利用相同道理的題目，記得大致是這樣問的：

「在一個沒有燈的黑暗的房間中，床底下有三雙分別是紅、白、藍顏色的襪子，它們胡亂地放著，你想拿最少數目的襪子，令到出去後會肯定有一雙相同顏色的襪子可穿。這最少數目應是多少？」

其實這是典形的「鴿巢原理」的題目，這原理的最簡單說法是，如果有N個鴿巢，而有N+1隻鴿子任意飛進這些巢中，那麼一定至少有一個鴿巢是有不只一隻鴿子。

 

所以，在襪子的題目中，把襪子當成六個鴿巢，只要想像至少需要多少隻鴿子飛進去，就必定可以佔到兩個同色的鴿巢的話，這個數目就是答案，因為即使頭三隻鴿子都不巧佔了三種不顏色的鴿巢，第四隻鴿的巢也一定會和頭三隻其中之一隻同色。所以答案是拿四隻襪。

Ibond的分配情況也屬於鴿巢原理的應用，把每個申請人當成鴿巢，把一手ibond當成鴿子，會估算到最差情況下可得到的ibond數目。例如，如果按照歷史上最多人認購的2015年ibond為參考，有59.7萬人認購，按增發後的ibond手數150萬手去計算，最差情況是每人只能獲發最多三手。

所以按照這估算的話，上述用500萬元的申請人，應該有其中497萬元是完全浪費掉的。不過，也是會有些微理由支持有人這樣申請的，原因可以是

1.     以上只是最差情況，如果認購人數比歷次ibond為少，又或是大部份人都沒有申請三手或以上的話，那麼就有可能獲發較多手數。

2.     不清楚工銀亞洲是否有為認購完ibond的資金提供優惠息口，如果是的話，這500萬元的申請，其實並不是單為了得到ibond，而是也為了賺取往後的可觀存款利息，那麼就不可貿然認為是愚蠢。

3.     也不排除工銀亞洲的關連人士特地如此做，這個特殊例子現在受到廣泛報導，實在已收到很大的宣傳之效呢。

 

除此之外，今次也有不少券商除了提供一貫的各種豁免收費優惠外，還提供了100%免利息免本金的認購服務，難道真如多年前國內樓盤廣告所言：「真係簽個名就可以做業主。」？

可是，這其中仍然是有數學需要計算。因為，這服務一般是有手續費要收。例如，以其中兩間券商的情況而言：

1.     券商P，免本金認購三手，需手續費38元，五手需68元

2.     券商C，宣傳稱三手0息0本金，但實際看清楚是需要收60元手續費。

 

如果自備本金，是不需要這項手續費，所以這費用可以看作是利息。按照簡易的單利息數學，並以慣例在分配日退款計的七天利息來計算，券商P免本認購三手的實際年利率是6.6厘，認購五手是7.1厘；而券商C認購三手的利率更達到10.4厘。所以，這種便宜似乎檢不過，可以的話，數萬元的金額，還是自備資金比較划算。

 

在各間機構的優惠中，我覺得中銀及大新應是不錯的選擇，因為他們有最多的減免，就連短期內沽出的佣金都可以完全地回贈的。

 

因為緊接着還有銀色債券推出，所以我的長者家人本擬只參加銀色債券就算。但我就認為不是，而是應該先認購ibond，再認購銀債。因為ibond是可以自由在港交所套現。而且應該是可以獲利的。本來想持有債券收息的話，賣出ibond後再認購銀債便可以了。我也建議銀債可「傾囊」地認購，道理我的前文已有詳述：銀色債券及私營年金

https://stevensir.blogspot.com/2018/11/blog-post_28.html

 

StevenSir.

 

以數學檢驗本港新冠病毒確診者是否有犯太歲效應

近年，因為一些玄學人士的渲染，以至每年可以多至五個生肖的人會被認為是犯太歲。一些寺觀，亦因應「需求」，加建了類似「六十太歲殿」的設施供人參拜化解。不過，以我自己的觀念而言，犯太歲即使有其事，也未至於要牽動到四、五個生肖，較為明顯的就只是本命年和隔六年的兩種生肖而已。

犯太歲會否增添不利，似乎頗難印證。然而，影響全球的新冠肺炎病毒，行藏詭異，既在全球造成大量死亡案例，亦可以有人受感染而完全無病癥甚至自行痊愈。和隱型患者交會的人誰會受傳染難以肯定，似乎運氣的影響或會更大？因政府有每日更新確診者資料，正好可以檢查一下，沖犯太歲的年歲的人，單在感染新冠肺炎方面會否較為容易？

 

由於政府發佈的資料是年齡而不是出生年份，所以除了12的倍數或隔6年的年歲有可能是犯太歲外，比這些細一年的年歲的人亦可能是犯太歲的生肖(例如2008年8月後出生的人，可能因未滿12歲而記錄為11歲，但其生肖卻是鼠)。不過我們就只能把確診者按「年齡除以12的餘數」分成十二組統計總數。如果有些組別特別偏高，那便可以跟進一下。

 

以直至7月31日的3273個患者的數據統計，餘數分組的總和是如下：

(資料來源：https://www.coronavirus.gov.hk/chi/index.html)

歲數和12的倍數的差距	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
人數	299	282	270	257	256	252	281	281	293	265	257	280

每個組別理論上應平均有3273除以12即約273人。我們見到最高的數字是餘數為0的組別(雖然歲數似是本命年，但生肖卻不一定屬鼠)，有299人，比平均多出26人。

不過，多出26人，是否就可以說這組別的人就會較易染疫呢？數學上卻不能如此說。因為273是個平均數，就算隨機分派，都絕不可能剛好每組都得到接近273人，參差不齊其實很正常。

 

一個很易明的例子就是六合彩的攪出號碼，以現時取得的馬會數據來說，統計了2601期的開彩資料，平均一個號碼應出現約372次(因為每期連同特別號碼有7個號碼開出)，而事實是，出現最多的是49號，開出413次，出現最少的是19號，只出現了330次(附圖)！我們亦不能夠立即就說原來49號是較容易開出。

那麼，要比平均數偏高多少才算有問題呢？這可以由數學上的「二項分佈」(binomial distribution)去計算(二項分佈在高中數學的延伸課程M1有涉及)。以六合彩有四十九個號碼來說，開出2601期的話，經過計算，會有約四十六至四十七個號碼，出現的次數在336次至407次之間。即是說，即使有兩個或三個號碼，不在336至407次這範圍，仍然是很符合隨機分佈的狀況。而果然，六合彩就只有三個號碼攪出的次數不在這範圍(10號409次，19號330次，和49號413次)，看來六合彩所用的號碼球的確是沒有什麼蠱惑的。

 

回說新冠病毒確診者，經過同樣的計算，以3273個患者的話，十二個年齡組別，會有約十一個，確診人數會介乎246人至300人之間，即平均數273人的加減27人。所以，即使最多患者的年齡組別「零」的人數有299人，仍然是在數學的預期之內，並沒有異常的趨勢。

 

觀乎次高的組別(餘數八)並不在本命年或沖太歲的年齡範圍，反而有可能沖太歲的「餘數五」組別確診人數竟然還是最低。所以，在數學檢驗下，可以這樣說：單就感染新冠病毒而言，沖犯太歲並沒有提高其機會。